المتباينات.. شرح مبسط مع القواعد والأمثلة المحلولة للطلاب …تُعد المتباينات من أهم موضوعات الجبر في الرياضيات، وهي تشبه المعادلات إلى حد كبير، لكنها لا تبحث عن قيمة واحدة فقط للمتغير، بل تحدد مجموعة من القيم التي تحقق شرطًا معينًا.
تستخدم المتباينات في العديد من التطبيقات اليومية، مثل تحديد الميزانية، ومقارنة السرعات، وحساب درجات الطلاب، وتحديد الحدود الدنيا والعليا للقيم.
في هذا المقال سنتعرف على مفهوم المتباينات، ورموزها، وطريقة حلها، وكيفية تمثيل الحل على خط الأعداد مع أمثلة وتمارين.
المتباينة هي جملة رياضية تستخدم للمقارنة بين مقدارين، وتحتوي على أحد رموز المقارنة بدلًا من علامة المساواة.
مثال:
س + 3 > 8
وهذا يعني أن قيمة الطرف الأيسر أكبر من الطرف الأيمن.
| الرمز | المعنى |
|---|---|
| > | أكبر من |
| < | أصغر من |
| ≥ | أكبر من أو يساوي |
| ≤ | أصغر من أو يساوي |
أمثلة على استخدام الرموز
- س > 5
يعني: س أكبر من 5. - س < 10
يعني: س أصغر من 10. - س ≥ 7
يعني: س أكبر من أو يساوي 7. - س ≤ 3
يعني: س أصغر من أو يساوي 3.
| المعادلات | المتباينات |
|---|---|
| تحتوي على علامة = | تحتوي على رموز > أو < أو ≥ أو ≤ |
| غالبًا لها حل واحد | قد يكون لها مجموعة حلول |
| مثال: س + 2 = 5 | مثال: س + 2 > 5 |
1- متباينات بسيطة
تحتوي على متغير واحد وعملية واحدة.
مثال:
س > 4
2- متباينات خطية
تحتوي على متغير من الدرجة الأولى.
مثال:
3س + 5 ≤ 14
3- متباينات مركبة
تحتوي على أكثر من شرط.
مثال:
2 < س < 7
وهذا يعني أن:
س أكبر من 2 وأصغر من 7.
حل المتباينات يشبه حل المعادلات، مع الانتباه إلى قاعدة مهمة:
عند الضرب أو القسمة على عدد سالب يجب تغيير اتجاه رمز المتباينة.
- بسط طرفي المتباينة إذا احتاج الأمر.
- اجمع الحدود المتشابهة.
- اعزل المتغير في أحد الطرفين.
- انتبه عند القسمة أو الضرب في عدد سالب.
- مثل الحل على خط الأعداد.
المثال الأول
حل:
س + 5 > 12
نطرح 5 من الطرفين:
س + 5 – 5 > 12 – 5
إذن:
س > 7
الحل:
كل الأعداد الأكبر من 7.
حل:
س – 4 ≤ 10
نضيف 4 للطرفين:
س – 4 + 4 ≤ 10 + 4
إذن:
س ≤ 14
حل:
3س > 15
نقسم الطرفين على 3:
3س ÷ 3 > 15 ÷ 3
إذن:
س > 5
حل:
-2س < 8
نقسم الطرفين على -2، ونغير اتجاه الرمز:
س > -4
إذن:
س > -4
لأن ضرب أو قسمة الأعداد السالبة يعكس ترتيب الأعداد.
مثال:
5 > 3
إذا ضربنا الطرفين في -1:
-5 < -3
نلاحظ أن الرمز تغير من أكبر إلى أصغر.
يستخدم خط الأعداد لتوضيح مجموعة الحل.
مثال:
س > 3
- نضع دائرة مفتوحة عند 3.
- نظلل الأعداد إلى اليمين.
لأن العدد 3 غير مشمول في الحل.
مثال:
س ≥ 3
- نضع دائرة مغلقة عند 3.
- نظلل إلى اليمين.
لأن العدد 3 ضمن الحل.
| الشكل | المعنى |
|---|---|
| دائرة مفتوحة ○ | العدد غير مشمول |
| دائرة مغلقة ● | العدد مشمول |
تستخدم المتباينات في مواقف كثيرة، مثل:
- يجب أن يكون عمر الطالب أكبر من 6 سنوات.
- يجب ألا تتجاوز سرعة السيارة 120 كم/ساعة.
- يجب أن تكون الميزانية أقل من مبلغ معين.
- تحديد الحد الأدنى أو الأعلى للدرجات.
من الأخطاء التي يقع فيها الطلاب:
- نسيان تغيير اتجاه المتباينة عند القسمة على عدد سالب.
- الخلط بين رمزي أكبر من وأصغر من.
- كتابة الحل دون تمثيله على خط الأعداد.
- اعتبار المتباينة مثل المعادلة تمامًا.
- عدم الانتباه إلى وجود علامة المساواة في (≥ أو ≤).
- احفظ معنى كل رمز جيدًا.
- تدرب على خط الأعداد.
- ركز عند التعامل مع الأعداد السالبة.
- تحقق من الحل بتجربة قيمة مناسبة.
- حل مسائل متنوعة باستمرار.
حل المتباينات التالية:
س + 8 > 15
س – 6 ≤ 12
4س ≥ 20
-3س < 9
2س + 5 > 17
5 – س ≤ 10
ما الفرق بين المتباينة والمعادلة؟
المعادلة تستخدم علامة المساواة وتبحث غالبًا عن قيمة محددة، بينما المتباينة تحدد مجموعة من القيم الممكنة.
متى نعكس إشارة المتباينة؟
نعكسها فقط عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.
هل المتباينة لها أكثر من حل؟
نعم، غالبًا يكون لها مجموعة كبيرة من الحلول.
تُعد المتباينات من أساسيات الجبر، وفهمها يساعد الطلاب على تحليل العلاقات بين القيم وحل العديد من المسائل الرياضية والتطبيقية. وباتباع خطوات الحل الصحيحة والانتباه إلى قاعدة الأعداد السالبة، تصبح المتباينات سهلة الفهم والتطبيق.
.
